pecahan matematika

Pecahan

terdiri dari pembilang dan penyebut.

Hakikat transaksi dalam bilangan pecahan adalah bagaimana cara menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penyederhanaan pembilang dan penyebut akan memudahkan dalam operasi aritmetika sehingga tidak menghasilkan angka yang terlalu besar tetapi tetap mempunyai nilai yang sama. Contohnya: bila dibandingkan antara 50/100 dan ½ maka lebih mudah dan sederhana melihat angka ½. 50/100 terlihat sebagai ”angka raksasa” yang kelihatannya lebih kompleks dibandingkan ½, padahal sebenarnya kedua angka ini tetap memiliki nilai yang sama. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan selain disederhanakan juga penyebutnya harus disamakan dengan bilangan yang sama, sedangkan pada operasi perkalian caranya adalah pembilang dikali pembilang, penyebut dikali penyebut. dan dalam operasi pembagian, pecahan yang di kanan dibalikkan, setelah dibalikkan, tanda : diubah menjadi tanda kali (X), seperti 3/4 : 5/6 = 3/4 X 6/5 = 18/20 = 9/10.

Jenis-jenis Pecahan

Ditinjau dari perbandingan besar nilai pembilang dan penyebut, pecahan dibedakan menjadi dua (2) yaitu :

a. Pecahan Sejati (Pecahan Murni)

Pecahan sejati adalah pecahan yang nilai positif pembilang lebih kecil dari nilai positif penyebut. Contoh 2/3, 5/7, dan  9/10 adalah contoh-contoh bilangan pecahan sejati

b. Pecahan Tidak Sejati (Pecahan Campuran)

Pecahan tidak sejati adalah pecahan yang nilai positif pembilang lebih besar dari nilai positif penyebut. Contoh 10/7, 12/9, dan 2 1/4  adalah contoh-contoh bilangan pecahan tak sejati.

Pecahan tak sejati 10/7 dapat ditulis dalam bentuk 1 3/7 , yang berarti 10/7  = 1 3/7 . Pecahan dalam bentuk  1 3/7 disebut pecahan campuran. Jadi pecahan campuran adalah pecahan yang penulisannya merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan sejati.

Ditinjau dari nilai pembilang atau penyebutnya, dan hubungan antara pembilang dan penyebut, pecahan dibedakan menjadi:

1) Pecahan Sederhana

Pecahan sederhana adalah pecahan yang FPB (Faktor Persekutuan Terbesar) dari pembilang dan penyebutnya adalah 1. Contoh 5/7, 2/3, dan 5/3 adalah contoh-contoh pecahan sederhana karena FPB dari pembilang dan penyebutnya adalah 1.

2) Pecahan Senama

Pecahan senama adalah pecahan yang penyebutnya sama. Contoh 2/4, 3/4, dan 1/4 adalah contoh-contoh pecahan senama karena penyebutnya sama.

3) Pecahan Desimal

Pecahan desimal adalah pecahan yang penyebutnya berbentuk  10ⁿ atau jumlahan dari pecahan-pecahan yang penyebutnya berbentuk 10ⁿ dengan n bilangan asli. Contoh 1/10, 1/100. , 1/1.000, 2/100, dan 0,03 adalah contoh-contoh pecahan desimal.

3. Penjumlahan Pecahan
Diketahui a/b dan c/d bilangan-bilangan pecahan dengan b ≠ 0, d ≠ 0. Penjumlahan dari  a/b dan  c/d, ditulis a/b  +  c/d, didefinisikan dengan

a	+	c	=	ad + bc
b		d		bd

Contoh 1 :

3	+	2	=	3.5  + 4.2	=	15+8	=	23
4		5		4.5		20		20

Teorema 1

Jika a/c dan b/c pecahan-pecahan dengan c ≠ 0, maka a/c + b/c  = a+c/b.

Contoh 2 :

5	+	8	=	5.21	+	8.7	=	105	=	56	=	161
7		21		7.21		7.21		147		147		147

Sifat-sifat penjumlahan pecahan:

• Tertutup, yaitu jika x dan y pecahan-pecahan maka x + y juga pecahan.
• Pertukaran (Komutatif), yaitu jika x dan y pecahan-pecahan maka berlaku x + y = y + x.
• Sifat Asosiatif (Pengelompokan), yaitu jika x, y dan z pecahan-pecahan maka (x + y) + z = x + (y + z).
• Mempunyai elemen identitas yaitu 0, dan berlaku x + 0 = 0 + x = x untuk setiap pecahan x.

4. Pengurangan Pecahan
Diketahui  a/b c/d pecahan-pecahan dengan b ≠ 0, d ≠ 0, penguranga a/b dengan c/d, ditulis

a	-	c	=	ad - bc
b		d		bd

Teorema 2

Jika a/b dan c/d pecahan-pecahan dengan c ≠ 0 maka a/c + b/c = a - c/b.

Pada pengurangan yang berlaku hanya sifat tertutup, yaitu jika x dan y pecahan-pecahan maka x – y pecahan.

5. Perkalian Pecahan

Diketahui a/b dan c/d pecahan-pecahan dengan b ≠ 0, d ≠ 0, perkalian a/b dengan c/d, ditulis a/b x c/d, didefinisikan dengan

a	x	c	=	ac
b		d		bd

Sifat-sifat Operasi Perkalian :

• Pertukaran (komutatif), yaitu jika x dan y pecahan-pecahan maka x . y = y . x
• Tertutup, yaitu jika x dan y pecahan-pecahan maka x . y juga pecahan.
• Assosiatif (pengelompokan), yaitu jika x, y dan z pecahan-pecahan maka (x.y)z = x (y . z).
• Mempunyai elemen identitas 1, yaitu jika x pecahan maka x . 1 = 1 . x = x
• Setiap elemen mempunyai invers, yaitu jika x = a/b pecahan dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka x mempunyai invers terhadap operasi perkalian yaitu b/a dan berlaku a/b . b/a = b/a . a/b = 1
• Sifat Distributif (Penyebaran). 1) Distributif (penyebaran) kiri, yaitu jika a, b dan c pecahan-pecahan, maka a×(b+c) = a × b +a × c. 2). Distributif (penyebaran) kanan, yaitu jika a, b dan c pecahan-pecahan, maka (b+c) × a= b × a + c × a.

6. Pembagian Pecahan
Diketahui a/b dan c/d pecahan-pecahan dengan b ≠ 0, d ≠ 0, pembagian a/b dengan c/d, ditulis a/b : c/d, didefinisikan dengan

a	:	c	=	a	x	c
b		d		b		d

7. Pecahan Ekuivalen

Adalah pecahan yang mempunyai nilai yang sama atau pecahan yang senilai atau seharga. Sifat-sifat pecahan ekuivalen:

• Pecahan a/b dan c/d , dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0 dikatakan pecahan ekuivalen ditulis a/b = c/d jika hanya jika a x d = b x c.
• Pecahan a/b dan c/d , dengan b ≠ 0 dan d ≠ 0 dikatakan pecahan ekuivalen ditulis a/b = c/d jika hanya jika c = m x a dan d = m x b untuk suatu bilangan bulat m. Contoh :

2	=	10	sebab 10 = 2 x 5 dan 15 = 3 x 5
3		15

8. Relasi Urutan Pecahan

Diketahui &a/b dan c/d adalah pecahan-pecahan . Pecahan a/b dikatakan kurang dari c/d , ditulis a/b < c/d jika terdapat pecahan positif e/f sehingga berlaku

c	=	a	+	e
d		b		f

Contoh :
8/12 < 9/12 sebab terdapat pecahan positif 1/12 sehingga berlaku

9	=	8	+	1
12		12		12

Teorema 3

Diketahui a/c dan b/c adalah pecahan-pecahan dengan c > 0. Pecahan a/c  dikatakan kurang dari  b/c, yaitu   a/c <  b/c  jika dan hanya jika a < b.

Contoh 1 :

2	<	5	sebab 3 > 0 dan 2< 5
3		3

Contoh 2 :

- 5	<	-1	sebab 4 > 0 dan -5 < -1
4		4

Teorema 4

Diketahui a/b dan c/d pecahan-pecahan dengan b > 0 dan d > 0

a	<	c	Û a x d < b x c
b		d

9. Pembelajaran Pecahan

Untuk memperkenalkan konsep pecahan kepada siswa SD/MI perlu diberikan peragaan dengan mengambil contoh pengalaman-pengalaman yang dialami siswa dalam kehidupan sehari-hari. Peragaan yang dapat dipakai untuk menanamkan konsep pecahan beserta operasi-operasinya di antaranya: 1) Benda konkret, 2) Luas daerah, dan 3) Garis Bilangan.

Contoh 1. (Pecahan didasarkan atas himpunan bagian)

Misal Amir mempunyai 9 kelereng, dengan perincian 2 kelereng berwarna biru dan 7 kelereng berwarna merah.  

Perbandingan banyaknya kelereng yang berwarna biru terhadap keseluruhan kelereng adalah 2 : 9 atau 2/9 . Sedangkan perbandingan banyaknya kelereng yang berwarna merah terhadap keseluruhan kelereng adalah 7 : 9 atau 7/9 .

Contoh 2. (Pecahan didasarkan atas pembagian benda)

aaaaaaaa

aaaaaaaa

aaaaaaaa

Daerah persegi panjang tersebut dibagi menjadi 3 bagian yang sama besarnya. Daerah yang diarsir (hitam) menempati 1 bagian dari 3 bagian keseluruhan. Oleh karena itu daerah yang diarsir menyatakan pecahan   1/3.

10. Pembelajaran Pecahan Senilai
Pecahan senilai adalah pecahan-pecahan yang cara penulisannya berbeda tetapi mempunyai nilai yang sama atau menyatakan bilangan yang sama. Secara matematika, dua pecahan  a/b dan  c/d dikatakan senilai, ditulis  a/b =  c/d jika a x d = b x c. Pecahan senilai disebut juga dengan pecahan ekuivalen.

Jika dibandingkan yaitu dengan cara menghimpitkan daerah yang satu dengan daerah yang lain maka akan diperoleh bahwa ketiga daerah yang diarsir pada diagram tersebut sama besar. Oleh karena pecahan-pecahan yang menyatakan ketiga daerah tersebut ekuivalen satu dengan yang lain, yaitu  1/2 = 2/4 = 4/8.

11. Pembelajaran Membandingkan Pecahan

Terdapat beberapa cara mengurutkan pecahan, yaitu:

(1). Dengan membandingkan besar daerah yang mewakili suatu pecahan.

(2). Dengan membandingkan letak titik pada garis bilangan yang mewakili suatu pecahan.

(3). Dengan menyamakan penyebutnya, dengan menggunakan pecahan senama

Contoh. Bandingkan 2/3 dan 5/6 .

Pembahasan:

Cara I:

Apabila dibandingkan besarnya daerah yang menyatakan pecahan 2/3 yaitu daerah (1) dengan daerah yang menyatakan pecahan 5/6 yaitu daerah (2), maka terlihat bahwa daerah (2) lebih besar (lebih menjorok ke kanan) daripada dearah (1). Oleh karena itu diperoleh bahwa  2/3  <  5/6.

Cara II:

Berdasarkan garis bilangan tersebut dapat dilihat bahwa titik yang mewakili bilangan 5/6   letaknya di sebelah kanan titik yang mewakili bilangan 2/3 . Jadi diperoleh 2/3  <  5/6.

12. Pembelajaran Penjumlahan Pecahan

a. Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Sama

b. Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Berbeda

Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda, kita harus mencari pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahan terjumlah maupun penjumlah sehingga diperoleh pecahan-pecahan yang penyebut sama.

Berdasakkan gambar terlihat bahwa daerah hasil penggabungan menempati 7 bagian dari 6 bagian keseluruhan. 

13. Pembelajaran Pengurangan Pecahan

a. Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Sama

b. Pengurangan Pecahan dengan Penyebut Berbeda

Untuk melakukan pengurangan pecahan yang penyebutnya berbeda, kita harus mencari pecahan-pecahan yang senilai dengan pecahan terkurang maupun pengurang sehingga diperoleh pecahan-pecahan yang penyebut sama, kemudian dijumlahkan pembilangnya dan dibagi dengan penyebutnya

Berdasarkan gambar terlihat bahwa daerah hasil pengurangan menempati 1 bagian dari 6 bagian keseluruhan atau 1/6.

14. Pembelajaran Perkalianan Pecahan

a. Perkalian Bilangan Asli dengan Pecahan

Berdasarkan gambar terlihat bahwa daerah hasil penggabungan menempati 6 bagian dari 4 bagian keseluruhan atau  6/4  atau dapat dipandang sebagai 1 utuh ditambah  1/2 atau 1 1/2 .

b. Perkalian Pecahan degan Bilangan Asli

Contoh. 2/3 x 6  = ....

Garis bilangan dari 0 sampai 6 dibagi menjadi 3 bagian yang sama, dan 3/4  bagiannya ternyata sama dengan 4.  Jika setiap skala dibagi lagi menjadi 3 bagian yang sama, maka posisi 4 akan menempati 12 bagian dari 3 bagian atau 12/3 .

c. Perkalian Pecahan dengan Pecahan

Untuk menentukan hasilnya ditentukan dengan cara sebagai berikut:

• Pembilang : Banyaknya daerah persegi panjang yang merupakan irisan dari daerah yang dibatasi oleh 2/5 dan 3/4.
• Penyebut : Banyaknya daerah persegi panjang pada daerah persegi yang panjang sisi-sisinya satu satuan panjang.

Daerah yang panjang dan lebarnya sama dengan satu ternyata dibagi menjadi 20 bagian yang sama. Sedangkan daerah persegi panjang yang panjangnya 2/5 dan lebarnya 3/4 menempati 6 bagian dari 20 bagian keseluruhan.

15. Pembelajaran Pembagian Pecahan

a. Pembagian Bilangan Asli dengan Pecahan

b. Pembagian Pecahan degan Bilangan Asli